Los tantos de Pedri González (49), de Ferran Torres (52) y el de propia puerta de Unai Elgezabal (90+1) salvaron al Barça después de una primera parte que se le puso en contra con los goles de Iván Romero (15) y José Luis Morales (45+7 de penal).
El conjunto valenciano intentó dar la campanada al tiempo que Flick probó al brasileño Raphinha como mediapunta para dejar la banda izquierda al inglés Marcus Rashford.
En una contra de libro, Romero definió a la perfección después de deshacerse de Pau Cubarsí y adelantar al Levante.
El Barça siguió moviendo el esférico sin poco peligro hasta que, en otro contraataque local, el balón acabó golpeando en la mano de Alejandro Balde.
Tras ser revisado por el VAR, el árbitro pitó la pena máxima, que Morales transformó ante la atenta mirada de Joan García.
Con caras largas, los hombres de Flick equilibraron el marcador en cuatro minutos poco después del descanso.
Pedri (49) recortó la distancia con un disparo a la escuadra desde fuera del área con la derecha y Ferran (52) empalmó con su derecha un centro de Raphinha para igualar el choque.
El Barça persiguió el triunfo hasta el último instante ante un férreo rival que se lo negaba, pero el vigente campeón se topó con la suerte.
Un centro de Lamine Yamal desde la derecha fue desviado por Elgezabal (90+1), pero el esférico se coló por la mismísima escuadra.
Por su parte, el Atlético se dejó dos puntos ante otro recién ascendido a la primera categoría, Elche.
La entidad rojiblanca, que perdió por 2-1 ante el Espanyol en el debut liguero, sigue sin carburar, pese a haber hecho siete fichajes en el mercado de inicio de curso, y se sitúa con un punto en la 13ª posición de la tabla de manera provisional.
En el otro partido del sábado, el Mallorca empató a uno frente al Celta en Son Moix. Javi Rueda (38) adelantó a los gallegos, pero Mateu Morey (87) puso las tablas al final.
El Real Madrid visita al Oviedo este domingo a la 1:30 p. m. hora de Costa Rica.
