Nació en San Petersburgo. La familia permaneció en Rusia hasta que él tenía 11 años, cuando la delicada salud del padre les obligó a trasladarse a Alemania. En 1862 inició estudios superiores en la Universidad de Zurich , mas, por la muerte del progenitor, hubo de trasladarse a la de Berlín; allí cursó matemáticas, física y filosofía. Se doctoró en 1867 y comenzó a laborar como profesor adjunto en la Universidad de Halle.
En 1874 publicó su primer trabajo sobre teoría de conjuntos. Entre esa fecha y 1897 demostró que el conjunto de los números enteros tiene el mismo número de elementos que el conjunto de los números pares, y que el número de puntos en un segmento es igual al número de puntos de una línea infinita, de un plano y de cualquier espacio; es decir, que todos los conjuntos infinitos tienen el mismo tamaño.
Consideró estos conjuntos como entidades completas con un número de elementos infinitos completos. Llamó a estos números infinitos completos números transfinitos y articuló una aritmética transfinita completa. Por este trabajo fue ascendido a profesor en 1879. El concepto de infinito en matemáticas había sido tabú hasta entonces, y por sus observaciones y deducciones se granjeó algunos enemigos, especialmente Leopold Kronecker (que había sido su maestro), quien, a partir de entonces, hizo todo lo posible por arruinar la carrera de Cantor.
Estancado en un institución docente de tercera clase, privado del reconocimientos por su trabajo y constantemente atacado por Kronecker, sufrió una primera crisis nerviosa en 1884. Sus teorías fueron reconocidas a principios del siglo XX; en 1904 fue galardonado con la medalla de la Sociedad Real de Londres y admitido, tanto en la Sociedad Matemática de esa capital como en la de Ciencias de Gotinga. Murió recluido en una institución mental, en Halle. Sus escritos no han sido publicados todavía en una recopilación completa; sin embargo, mantiene importante vigencia su estudio Una contribución a la teoría de los conjuntos.
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