Thelmo Vargas. 7 julio

Nada de paradójico tiene que Argentina haya sufrido para derrotar 2-1 a Nigeria en San Petersburgo. En este escrito me refiero a una paradoja que tiene que ver con esa bella ciudad rusa, fundada para servir de “ventana con Europa” y que a lo largo del tiempo ha cambiado de nombres como actor de cine hace de cónyuge: primero se llamó San Petersburgo (Ciudad de San Pedro), luego Petrogrado, después, con la muerte de Lenin, su nombre pasó a ser Leningrado y con la desaparición de la Unión Soviética, en 1991, retomó el nombre de San Petersburgo.

Lo que se conoce como paradoja de San Petersburgo tiene que ver con el escogimiento racional en situaciones de incertidumbre y reviste especial importancia en la actualidad, cuando, entre otros, la administración y supervisión prudencial de entes financieros (bancos, aseguradoras, fondos de pensiones) se centran en el riesgo.

Pero esa enseñanza legada por Bernoulli hace casi tres siglos no es bien aprovechada en la actualidad, ni siquiera por quienes están llamados a hacerlo

Por mucho tiempo, ante situaciones inciertas, las personas consideraron prudente guiarse por la regla conocida como valor promedio. Si, por ejemplo, un título valor al final del período pactado con igual probabilidad puede darme un pago de ¢100 o de ¢30, su valor promedio es ¢65, y hasta por el valor presente de esta suma pagaría por adquirirlo hoy.

La paradoja de San Petersburgo sirvió para poner en duda la bondad de la regla del promedio. Dice ella que Juan promete dar a Pedro ¢2 si al lanzar una moneda al aire cae mostrando escudo; el premio sube a ¢4 si cae escudo por primera vez en el segundo lanzamiento; sube a ¢8 si el primer escudo sale en el tercer lanzamiento. Y así sucesivamente: el premio se eleva a la enésima potencia de ¢2 si el primer escudo sale en el enésimo lanzamiento. Como se nota, los premios suben en el mismo grado en que su probabilidad baja.

¿Cuánto estaría dispuesto a pagar Pedro por participar en ese juego? La respuesta modal es que debería estar dispuesto a pagar hasta el valor promedio del juego. Y aquí viene la paradoja: el juego que nos ocupa tiene un valor promedio infinito y en la práctica lo que uno esperaría que Pedro pague es a lo sumo ¢8. Lo consideraríamos demasiado generoso (o tonto) si ofreciera ¢20. La regla del promedio (también conocida en estadística como “esperanza”, como cuando se habla de esperanza de vida) encierra algo raro y su uso merece ser cuestionado.

Solución. En 1738, el matemático suizo Daniel Bernoulli, en una publicación que tituló Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis (Especificación de una nueva teoría para la medida del riesgo), propuso una ingeniosa solución a la paradoja de San Petersburgo. Consideró que la gente, al decidir ante incertidumbre, no sigue la regla del valor monetario promedio (o esperanza actuarial), sino lo que él denominó “esperanza moral”, que incorpora la utilidad o satisfacción subjetiva que los pagos posibles aparejan para el receptor. Señaló que el dinero tiene utilidad marginal decreciente, pues conforme más se tenga, menor es la satisfacción que se obtiene de cada unidad adicional.

Además, postuló que una forma adecuada de representar ese fenómeno es utilizando la raíz cuadrada del dinero como la expresión de su utilidad. Así, la utilidad asociada con tener ¢2 sería 1,41 “utiles”; la de ¢4 sería 2 “utiles”... la de ¢64 sería 8.

De proceder de esa forma, señaló Bernoulli, la serie de pagos que Pedro espera recibir tendría una esperanza moral finita y ella definiría el precio que él estaría dispuesto a pagar por participar en tan peculiar juego.

Esta hipótesis de Bernoulli parece coincidir con la realidad. Como el dinero tiene utilidad marginal decreciente, nadie en su sano juicio se atreve a participar en un juego consistente en ganar o perder en el futuro la mitad de su sueldo mensual dependiendo del resultado de lanzar una moneda al aire. La razón es que lo que se arriesga a perder tiene mucha más utilidad que lo que se arriesga a ganar.

Por eso un ser racional no participa en juegos actuarialmente equilibrados, en particular si involucran cuantiosas sumas. También por eso muestra “temor” al riesgo y está dispuesto a pagar por trasladarlo a una compañía aseguradora.

Utilidad esperada. A la idea de esperanza moral de Bernoulli, modernamente se le denomina utilidad esperada y es la base para escoger bajo riesgo. Según esta, al escoger entre opciones inciertas debe tenerse presente no solo el resultado promedio, sino también su volatilidad. Es la volatilidad de los resultados posibles, y no su valor promedio, lo que constituye el riesgo de una acción.

Pero esa enseñanza legada por Bernoulli hace casi tres siglos no es bien aprovechada en la actualidad, ni siquiera por quienes están llamados a hacerlo. Hoy, por riesgo se entienden 5 conceptos: riesgo como el peligro contra el cual se busca protección (riesgo cambiario, crediticio, de colisión y vuelco), riesgo como unidad expuesta (el auto, la casa, el deudor), riesgo como probabilidad de pérdida (una edificación de madera tiene mayor riesgo de incendio que una de concreto), riesgo como pérdida esperada (severidad de la pérdida ponderada por la probabilidad de materialización) y riesgo como volatilidad de los resultados. El último es el que realmente interesa para los efectos de la “administración integral del riesgo”.

En efecto, el riesgo entendido como valor promedio no considera los efectos de la diversificación de las exposiciones. El valor promedio se comporta de manera lineal y no refleja el efecto atomización que tiene una cartera diversificada de exposiciones. Un asegurador en la línea de incendio o en vida no espera que todas las casas y los edificios asegurados se quemen a la vez, ni que todos sus asegurados mueran el mismo día.

Si las exposiciones aseguradas son muchas, y razonablemente independientes entre sí, la volatilidad de la cartera total será baja; es decir, casi no tendrá riesgo. El asegurador podrá dormir tranquilo al saber que con las primas cobradas atenderá el pago de todos los reclamos y que obtendrá la ganancia prevista en su negocio.

Otro escenario. La teoría del riesgo, inspirada en Bernoulli, también dice que si las exposiciones no son independientes y están expuestas a azares de naturaleza sistémica (por ej., sequía, terremoto, una recesión económica o una fuerte devaluación), no operará la diversificación que hemos comentado.

Pero no todo es color de rosa para Bernoulli. En San Petersburgo, el seleccionado de su país, Suiza, perdió contra Suecia. También, la propuesta de considerar la raíz cuadrada del dinero como su función de utilidad no lleva a la solución de la paradoja que nos ocupa.

La razón es que el juego que Juan propuso a Pedro apareja resultados que tienden a infinito y la raíz cuadrada de infinito es infinito, por lo que la esperanza moral también lo será.

Pero eso no importa. La regla de la esperanza moral propuesta por Bernoulli es de enorme importancia normativa y puede utilizarse aun con la raíz cuadrada del dinero si solo aceptamos que, a partir de cierta cantidad (por ejemplo, la fortuna de Bill Gates), él apareja utilidad cero. ¿No es eso razonable?

El autor es economista.