Si se tienen dos objetos en una fila, tales como una manzana y un martillo, ¿de cuántas maneras pueden ordenarse? Una opción sería colocar la manzana en primer lugar y; por ende, al martillo en segundo lugar, o podríamos poner al martillo de primero y a la manzana de segunda. Por lo tanto, es evidente para toda persona, que existen solamente dos maneras de ordenar dos objetos.
Si se agrega un zapato a la fila, al pensar en el número de formas en las que pueden ordenarse tres objetos, debe decidirse cuál objeto ocupará el primer lugar, y para esto existen tres únicas opciones, pues son tres objetos los que se tienen.
Sea cual sea la opción que se escoja de las tres, es claro que los objetos que han de ocupar el segundo y el tercer lugar en la fila, siendo dos, podrían ordenarse solamente en dos formas, tal y como aprendimos del caso anterior, por lo cual podríamos concluir, que en total, existen necesariamente seis (3 X 2) maneras de ordenar tres objetos.
Si el conocimiento surge como una mezcla de observaciones y razonamientos, la educación matemática debería permitir que el niño verifique lo que sucede en el mundo real, que intente formas alternativas de resolver los problemas, para que descubra así, que existen restricciones e imposibilidades.
La matemática es un conjunto de ideas que flotan en la mente en forma de definiciones, axiomas y teoremas, pero nacen como producto de la abstracción humana. La manzana, el martillo y el zapato, son objetos que el niño puede manipular, comprobando que existen ciertas reglas que se ocultan tras el telón de los fenómenos reales. La abstracción es un proceso innato y de gran potencial en el reconocimiento del mundo.
Por ejemplo, sabemos que existen infinitos estilos tipográficos para escribir la palabra “educación”, la cual puede escribirse con letras grandes o pequeñas, con letras delgadas o gruesas, simples o complejas, y sin embargo, cuando la leemos, somos capaces de reconocer la palabra y su significado, sin que sea necesario que conozcamos cada tipografía.
Esto no sería posible si la mente no hubiese desarrollado la habilidad de encontrar un algo que es común a todas las tipografías, logrando separar la palabra “educación” del estilo y forma en que se escribe.
Siguiendo las ideas de Schoenfeld, superiores en mucho a las de Pólya, la educación matemática debe permitir la experimentación, la comprobación y el error. El niño puede aprender que una persona que inclina la espalda hacia adelante, mientras sus piernas se mantienen adheridas a la pared, necesariamente caerá, y esto lo aprenderá al experimentar por sí mismo y tras múltiples fracasos que es imposible evitar la caída, sospechando la existencia de algún tipo de regla a la que obedecen los cuerpos en la naturaleza.
La educación matemática tradicional hace exactamente lo contrario, enseña reglas y teoremas de origen desconocido, y luego, muy hipócritamente, para justificar lo enseñado rebusca algún ejemplo en el mundo físico.
La educación de calidad debería permitir el análisis de situaciones reales de las que surjan los conceptos académicos y no al contrario. La matemática nace de la realidad, es una abstracción de la misma. ¿Qué tienen en común una naranja, un ojo y la luna? Siendo objetos de naturalezas muy distintas, existe algo que los unifica: su forma. Si esa característica común logra aislarse del mundo, de pronto, aparece en la mente la idea de esfera, la cual no existe como objeto real, sino que es una intersección de ideas.
Nadie ha visto jamás al número cinco en sí mismo, no obstante, muchos han visto cinco dedos, cinco sillas y cinco piedras. La maestra de primaria sabe esto, y enseña a sumar al niño, utilizando objetos físicos del entorno y nunca por medio del concepto puro de número.
El sistema educativo debe fundamentarse en el contacto con objetos y fenómenos naturales, observables por el estudiante, los cuales demuestran la existencia de hilos invisibles que determinan lo que sucede en el mundo físico, y que solo pueden percibirse mediante la abstracción, pues fuera de la mente, la matemática no existe.