Ciencia

La magia de los fractales

  Bellas repeticiones La ciencia descubre cómo se crean las sorprendentes formas de la naturaleza

A Benoid B. Mandelbrot siempre le habían intrigado cosas que otros matemáticos ni siquiera miraban. Para Mandelbrot, el chocar de las olas producía figuras bellas, pero también misteriosas: ¿por qué trazaban esas curvas y no otras? ¿No eran extraños los contornos de las rocas, y por qué eran así –y no de otra manera– las hojas de los árboles? Demasiadas preguntas y ninguna respuesta…

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Sin embargo, él no era hombre que se rindiese ante el enigma. Noche tras noche, en su oficina del Centro de Investigaciones de la empresa IBM, Mandelbrot trazaba líneas curvas, líneas rectas, ángulos… Una noche, su empeño aclaró tanto misterio. En vez de comenzar con fórmulas, Mandelbrot empezó con los trazos más sencillos: así nacieron las matemáticas de los hoy célebres fractales.

Mandelbrot desarrolló luego una clase de geometría capaz de analizar (“desarmar”) y cuantificar (medir el contorno) riscos naturales, olas y bifurcaciones. También describió cómo se multiplican los trazos que originan, por ejemplo, las ramas de una palmera.

Él llamó geometría fractal a esta nueva rama de las matemáticas. Tomó el nombre del adjetivo latino ‘fractus, que significa ‘fracturado’, ‘segmentado’ o ‘quebrado’. En 1967, Benoid B. Mandelbrot –quien aún vive– publicó el artículo ¿Cuánto mide la costa de la Gran Bretaña? , que contiene las bases de los fractales.

Vueltas y vueltas. Durante muchos años, algunos colegas de Mandelbrot habían estudiado el problema de las formas en la naturaleza. Sí tenían idea de sus proporciones y sus crecimientos, pero no encontraban cómo modelarla, copiarla o simularla de manera fiel. Así pues, se ignoraba cómo se generan las estructuras naturales (como las de los árboles). Tales estructuras eran simi-lares, no iguales, pero todas cumplían la misma función.

El “problema” es que la naturaleza es engañosamente simple.

Pensemos en los vasos (venitas) capilares de los pulmones. Los vasos forman una especie de arbusto con muchas ramas: estas se bifurcan y se bifurcan, y cada vez son más pequeñas, hasta que llegan a todos los rincones del pulmón.

En línea recta, esos vasos medirían unos 40.000 kilómetros: caminándolos, ¡daríamos una vuelta a Tierra! Tales vasos trazan curvas, vueltas y más vueltas, de modo que levantar un minucioso plano de todo ello sería complicadísimo. Ese plano debería especificar el diámetro, la longitud y la dirección de cada pedacito de vaso capilar.

Baste decir que, si cada centímetro de vaso capilar requiere un centímetro cuadrado de mapa, el tamaño del mapa se acercaría al de Costa Rica. Así, necesitaríamos un plano del tamaño del área de nuestro país para especificar las dimensiones y la disposición de los vasos capilares de los pulmones.

La solución. La teoría de los fractales nos lleva por otro camino. En realidad, los fractales no son un mapa, un plano ni una descripción de una estructura; simplemente son una “receta” de cómo describir y crear una estructura.

En ciencia, una receta es un algoritmo; o sea, las instrucciones que llevan a un resultado deseado. Veamos un ejemplo. Nuestra receta dice lo siguiente:

a) Tome la forma original y redúzcala a un tercio de su tamaño original.

b) Multiplíquela por 4.

c) Rote dos de esas cuatro formas a 60 y -60 grados

d) Ordénelas secuencialmente y ponga las formas no rotadas en los extremos.

Ahora probemos la receta con una simple línea horizontal. La forma original ( input ) es una línea recta (fig A 0).

1. Tome la forma original y redúzcala a un tercio de su tamaño original (fig. A 1).

2. Multiplíquela por 4 (fig. A 2).

3. Rote dos de las líneas a 60 y -60 grados (fig. A 3).

4. Ordénelas secuencialmente y ponga las formas no rotadas en los extremos (fig. A 4).

Ahora viene la magia fractal. Se toma la construcción lograda (fig. A 4) y se repiten los pasos. Esta vez, cada uno de los cuatro pasos se ejecutan exactamente iguales, pero repitiendo la forma obtenida (fig. A 4), y no la línea recta original. Se produciría la imagen de la fig. B.

¿Queremos repetir el proceso? Bien: partiremos de la figura B 4 aplicando la receta (el algoritmo) de cuatro pasos. Ahora obtendremos la belleza de la fig. C 4.

A la figura C 4 se aplican de nuevo las reglas y se obtiene una nueva figura, y así sucesivamente varias veces. La construcción que se muestra en la fig. D es el resultado de tan solo seis repeticiones.

Autosemejanza. Esta extraña palabra denota una propiedad de los fractales y de la naturaleza. La autosimilaridad o autosemejanza se refiere a la propiedad que tienen algunas construcciones geométricas de continuar teniendo aparentemente la misma forma cuando se las observa a distintas escalas (o sea, cuando nos acercamos o nos alejamos de ellas).

Un ejemplo común son las nubes. Tienen distintas formas y tamaños, pero ofrecen una configuración semejante si se acercan o se alejan. Es más, no es posible calcular la distancia a la que se encuentra una nube. Esta incapacidad se debe a que su característica de autosemejanza elimina las “pistas visuales” típicas de la perspectiva (cuanto más lejos esté algo, sus detalles se ven más pequeños). Tales pistas nos sirven para calcular cuán cerca o cuán lejos se encuentra un objeto de nosotros.

Ahora acerquémonos a la figura que resultó de nuestro algoritmo. En la figura E se muestra un sector ampliado de la figura anterior; en el pequeño recuadro se observa cuál parte es.

La figura E enseña que, si nos acercamos a un detalle de esta figura, el resultado es una forma muy parecida a la más grande. Esta cualidad se llama ‘autosemejanza’.

Dicha característica es muy difundida en la naturaleza. La presentan los árboles, con sus ramas, que se bifurcan en ramas más pequeñas, que se bifurcan en hojas, que tienen ramificaciones en forma de venas. Así, todo se bifurca con autosemejanza fractal.

Sistema L. Ahora sí podemos relacionar lo aprendido con nuestro tema inicial: ¿cómo modelar parte de la naturaleza a partir de fractales?

Aristid Lindenmayer desarrolló los sistemas L a finales de los años 60. Ellos representan la mejor aproximación matemática al modelo de crecimiento de los sistemas vegetales. En este caso debemos desarrollar reglas que se acerquen a la formación de estructuras que simulen las de la plantas. En la figura F vemos cómo se logran “lindos helechos” con un algoritmo muy similar al ya mostrado.

Así se codifica la naturaleza al modo fractal. En vez de intentar hacer todo el mapa del helecho o de los vasos capilares, tenemos una corta –¡pero muy eficiente!– “receta” de cómo hacerlos. Basta con unas cuantas instrucciones (en nuestros ejemplos, no más de cuatro) para obtener estructuras increíblemente complejas que simulen las formas de la naturaleza.

El autor de este artículo desarrolló un trabajo de investigación destinado a aplicar un cálculo de estructuras fractales con sistemas L. Lo hizo en 1991 en la Hochschule fuer Gestaltung (Escuela Superior de Diseño) de la ciudad de Schwäbisch Gmuend (Alemania).

La figura G muestra dos de las construcciones que se desarrollaron en dicha investigación. Para comprenderlas mejor, se muestra con seis distintos pasos. Las construcciones tratan de simular el crecimiento natural en dos tipos distintos de hojas: la compuesta y la simple.

Los fractales son “magia”, pero magia realista y, en el fondo, sencilla. Con ella, todos podemos también ser “magos”.

EL AUTOR ES DIRECTOR DE LA ESCUELA DE DISEÑO INDUSTRIAL DEL ITCR. ACABA DE PUBLICAR EL LIBRO ‘EL ERROR DE LE CORBUSIER’.